伯奇和斯温纳顿-戴尔(Birch and Swinnerton-Dyer)猜想,即BSD猜想,是现代数学的核心问题之一,曾在上世纪末被美国的克雷研究所列为千禧年七大数学问题之一,和黎曼猜想、庞加莱猜想(已解决)等著名问题并列。该猜想在上世纪六十年代被提出,预言了数域上椭圆曲线的若干不变量(算术的,解析的,以及上同调的)之间的深刻联系,至今仍未完全解决。上世纪八九十年代,Beilinson、Bloch、Kato(加藤和也)等人将该猜想推广到了数域上一般的代数簇,或者说动形(motive),形成了一系列目前被称为Beilinson-Bloch-Kato猜想(BBK猜想)的断言,其涉及的数学跨越了代数数论、算术几何、自守表示等领域,是当代数论研究的核心问题之一。本文将从一些久远的数论背景出发,回顾BSD猜想,介绍它的推广(即BBK猜想),并总结目前对于高维代数簇的结果或证据。